m.o.o.
25.11.05, 20:00
Hallo.
Ich habe mal wieder ein mathematisches Problem, und zwar geht es um die explizite und implizite Form einer DGL.
Ich habe hier ein Buch, das besagt, dass eine gewöhnliche DGL n-ter Ordnung dargestellt in der impliziten Form so aussieht:
F(x,y,y',...,y^(n)) = 0
.
Die explizite Form einer gewöhnlichen DGL n-ter Ordnung ist dann einfach nach y^(n) aufgelöst und sieht dabei dann so aus:
y^(n) = f(x,y,y',...,y^(n-1))
.
Nun habe ich allerdings noch ein anderes Dokument (eine Facharbeit über DGLen aus dem Internet), in dem es heißt:
Des Weiteren können Differentialgleichungen in explizite und implizite Differential-
gleichungen eingeteilt werden, wobei jedoch in der Literatur verschiedene Definitionen
verwendet werden.
Während einige Autoren definieren, dass eine Differentialgleichung genau dann ,,expli-
zite Differentialgleichung" hieße, wenn sie nur nach der höchsten vorkommenden Ab-
leitung auflösbar sei, kann man auch oft die Definition finden, dass eine Differential-
gleichung genau dann ,,explizite Differentialgleichung" hieße, wenn sie bereits nach der
höchsten Ableitung aufgelöst ist; explizite Differentialgleichungen stellen also nach
dieser Definition lediglich eine Teilmenge der nach der höchsten vorkommenden Ablei-
tung auflösbaren Funktionen dar.
Da die Unterscheidung zwischen expliziten und impliziten Differentialgleichungen je-
doch nur zeigen soll, dass für implizite Differentialgleichungen nicht die selben Lö-
sungsverfahren verwendet werden können wie für explizite Differentialgleichungen,
wird in dieser Arbeit nach der ersten, weiter gefassten Definition verfahren.
Differentialgleichungen, die nicht nach der höchsten vorkommenden Ableitung auflös-
bar sind, heißen ,,implizite Differentialgleichungen".
So, und jetzt meine Frage:
ich habe mir (nach den Definitionen aus dem Buch) immer vorgestellt, dass die implizite Form einer DGL einfach die DGL ist, so wie sie da steht, also z.B. y'' + 3 y' + y = 6 und die explizite Form dann einfach (in diesem Fall) nach y'' aufgelöst ist.
Diese Vorstellung liegt ja nun aber im Widerspruch zu dem Zitat aus der FA, nach dem ja explizite und implizite DGLen zwei verschiedene Gruppen darstellen (erster Satz). Nach meiner Vorstellung (die ja vlt. falsch ist), kann ja eine DGL von der expliziten Form in die implizite (bzw. auch andersherum) verwandelt werden; nach dem Zitat ist eine DGL schon dann eine explizite DGL wenn sie sich nach der höchsten Ableitung auflösen lässt (eine Differentialgleichung genau dann ,,explizite Differentialgleichung" hieße, wenn sie nur nach der höchsten vorkommenden Ableitung auflösbar sei). Folglich wäre mein Beispiel von oben falsch, d.h. die DGL im Beispiel wäre eine explizite, obwohl sie nicht nach y'' aufgelöst ist (sie lässt sich aber nach y'' auflösen).
Was genau versteht man unter der expliziten bzw. impliziten Form einer DGL?
Schon mal vielen Dank für das Lesen meines Posts (ich hoffe man versteht was ich will/wo mein Problem liegt).
Gruß, Florian
Ich habe mal wieder ein mathematisches Problem, und zwar geht es um die explizite und implizite Form einer DGL.
Ich habe hier ein Buch, das besagt, dass eine gewöhnliche DGL n-ter Ordnung dargestellt in der impliziten Form so aussieht:
F(x,y,y',...,y^(n)) = 0
.
Die explizite Form einer gewöhnlichen DGL n-ter Ordnung ist dann einfach nach y^(n) aufgelöst und sieht dabei dann so aus:
y^(n) = f(x,y,y',...,y^(n-1))
.
Nun habe ich allerdings noch ein anderes Dokument (eine Facharbeit über DGLen aus dem Internet), in dem es heißt:
Des Weiteren können Differentialgleichungen in explizite und implizite Differential-
gleichungen eingeteilt werden, wobei jedoch in der Literatur verschiedene Definitionen
verwendet werden.
Während einige Autoren definieren, dass eine Differentialgleichung genau dann ,,expli-
zite Differentialgleichung" hieße, wenn sie nur nach der höchsten vorkommenden Ab-
leitung auflösbar sei, kann man auch oft die Definition finden, dass eine Differential-
gleichung genau dann ,,explizite Differentialgleichung" hieße, wenn sie bereits nach der
höchsten Ableitung aufgelöst ist; explizite Differentialgleichungen stellen also nach
dieser Definition lediglich eine Teilmenge der nach der höchsten vorkommenden Ablei-
tung auflösbaren Funktionen dar.
Da die Unterscheidung zwischen expliziten und impliziten Differentialgleichungen je-
doch nur zeigen soll, dass für implizite Differentialgleichungen nicht die selben Lö-
sungsverfahren verwendet werden können wie für explizite Differentialgleichungen,
wird in dieser Arbeit nach der ersten, weiter gefassten Definition verfahren.
Differentialgleichungen, die nicht nach der höchsten vorkommenden Ableitung auflös-
bar sind, heißen ,,implizite Differentialgleichungen".
So, und jetzt meine Frage:
ich habe mir (nach den Definitionen aus dem Buch) immer vorgestellt, dass die implizite Form einer DGL einfach die DGL ist, so wie sie da steht, also z.B. y'' + 3 y' + y = 6 und die explizite Form dann einfach (in diesem Fall) nach y'' aufgelöst ist.
Diese Vorstellung liegt ja nun aber im Widerspruch zu dem Zitat aus der FA, nach dem ja explizite und implizite DGLen zwei verschiedene Gruppen darstellen (erster Satz). Nach meiner Vorstellung (die ja vlt. falsch ist), kann ja eine DGL von der expliziten Form in die implizite (bzw. auch andersherum) verwandelt werden; nach dem Zitat ist eine DGL schon dann eine explizite DGL wenn sie sich nach der höchsten Ableitung auflösen lässt (eine Differentialgleichung genau dann ,,explizite Differentialgleichung" hieße, wenn sie nur nach der höchsten vorkommenden Ableitung auflösbar sei). Folglich wäre mein Beispiel von oben falsch, d.h. die DGL im Beispiel wäre eine explizite, obwohl sie nicht nach y'' aufgelöst ist (sie lässt sich aber nach y'' auflösen).
Was genau versteht man unter der expliziten bzw. impliziten Form einer DGL?
Schon mal vielen Dank für das Lesen meines Posts (ich hoffe man versteht was ich will/wo mein Problem liegt).
Gruß, Florian