Mathematik: Problem mit linearer Dgl. 2. Ordnung mit komplexer Lsg.

[m.o.o.]

Hallo.

Ich lese gerade für meine Facharbeit (elektromagnetischer Schwingkreis) ein Buch über Schwingungen (,,Grundlagen der Schwingungstechnik 1`` von Horst Irretier), um mich mit den Dgl., mit denen man Schwinungen beschreiben kann, vertraut zu machen. Soweit die Vorgeschichte.

In diesem Buch findet sich (ganz am Anfang) eine lineare Dgl. 2. Ordnung, mit der eine freie, ungedämpfte Schwingung beschrieben wird:


q'' + q*w^2 = 0

wobei w gleich Omega null ist.

Dann wird der Ansatz


q = Q*exp(lam*t)

verwendet (lam=Lambda, komplex; Q komplex).

Dadurch ergibt sich die charakterische Gleichnung


lam^2 + w^2 = 0

und die beiden (imaginären) Lösungen für Lambda


lam1=+iw
lam2=-iw

.

Aus diesen beiden Löungen kann man nun die allgemeine Lösung (Linearkombination) bilden, in dem man die beiden Lösungen addiert (q ist dabei, nach dem Buch, reell):


q = Q1*exp(i*w*t) + Q2*exp(-i*w*t) (!!)

.

Die Verwendung der Euler'schen Formel (exp(i*lam) = cos(lam) + i*sin(lam)) liefert dann:


q = (Q1 + Q2)*cos(w*t) + i(Q1 - Q2)*sin(w*t) (!!)

.

Soweit ist mir das eigentlich alles gut verständlich (bis auf die Tatsache, warum das q von oben plötzlich reell sein soll (mir ist klar, dass es reell sein sollte, aber ich erkenne das nicht aus der Gleichung); aber das Problem hängt mit dem Problem zusammen, was jetzt kommt):
Im Buch werden jetzt zwei neue reelle Variablen eingeführt, q_s und q_c:


q_c = Q1 + Q2
q_s = i(Q1 - Q2)

.
Zitat: ,, Da die Lösung q (gemeint sind (!!)) reell sein muss, lassen sich die Faktoren vor den harmonischen Funktionen durch die reellen Faktoren q_c= Q1 + Q2 [Q1, Q2 sind komplex] und q_s = i(Q1 - Q2) darstellen ...``.

So, und jetzt meine Frage: warum ist q_s reell wenn q_s=i(Q1 - Q2) gilt?
Okay, die Antwort ist wahrscheinlich, weil Q1 und Q2 komplex sind und komplexe Zahl multipliziert mit einer komplexen Zahl ergibt eine reelle Zahl, aber warum ist dann q_c reell?

Ich weiß, der Beitrag ist ziemlich unübersichtlich, aber vlt. hat ja jmd. Lust und Zeit mal darüber nachzudenken.
Ich habe mal die entsprechenden beiden Seiten eingescannt (ich hoffe das ist erlaubt) und angehängt.

Schon mal vielen Dank für das Lesen des Beitrages!

Gruß, Florian

PS: Interessant ist auch eine Stelle aus einem Buch über Dgl., in dem ein Problem dieser Art diskutiert wird. Sinngemäß steht in dem Absatz dann:
Interessiert man sich für eine Lösung in reeller Form, greift man den Realteil heraus, d.h. Q1 und Q2 werden als reelle Konstanten angesehen.
Aber warum kann man das einfach machen?

[derguteweka]

So, und jetzt meine Frage: warum ist q_s reell wenn q_s=i(Q1 - Q2) gilt?
Okay, die Antwort ist wahrscheinlich, weil Q1 und Q2 komplex sind und komplexe Zahl multipliziert mit einer komplexen Zahl ergibt eine reelle Zahl, aber warum ist dann q_c reell?
Der Trick ist, dass Q1 und Q2 konjungiert komplex sind, d.h. z.b. Q1=a+jb und Q2=a-jb; damit wird dann
Q1+Q2 reell, weil sich die Imaginaerteile aufheben und Q1-Q2 ist rein imaginaer, weil sich die Realteile aufheben, daher ist dann j*(Q1-Q2) wiederum reell...Klingt komisch, ist aber so :D


Sinngemäß steht in dem Absatz dann:
Interessiert man sich für eine Lösung in reeller Form, greift man den Realteil heraus, d.h. Q1 und Q2 werden als reelle Konstanten angesehen.
Aber warum kann man das einfach machen?
Hmm, naja kann schon sein, dass das so nicht ganz sauber ist, aber es geht ja bei der ganzen Geschichte darum, dass man irgendwas in der Natur (oder im Labor) beobachtet hat, was "wackelt" und jetzt will man das "wackeln" oder schwingen durch eine Funktion die z.b. die Momentanspannung eines Parallelschwingkreises oder die Position des Massepunktes eines Pendels analytisch beschreibt, ausdruecken. Diese Funktion muss also dann reelle Daten liefern, denn die Momentanspannung an einem Schwingkreis ist immer eine reelle Groesse in Volt oder die Position des Massepunktes ist immer ein reeller Vektor irgendwo im Raum. Kein Voltmeter, Oszilloskop oder Meterstab kann komplexe oder imaginaere Groessen messen...

Gruss
WK

[m.o.o.]

Der Trick ist, dass Q1 und Q2 konjungiert komplex sind, d.h. z.b. Q1=a+jb und Q2=a-jb; damit wird dann
Q1+Q2 reell, weil sich die Imaginaerteile aufheben und Q1-Q2 ist rein imaginaer, weil sich die Realteile aufheben, daher ist dann j*(Q1-Q2) wiederum reell...Klingt komisch, ist aber so :D


Danke! :)
Das Problem hat mich schon seit Mittwoch verfolgt, hier wurde es in 26 Minuten gelöst (immer wieder beeindrukend die Geschwindigkeit...).

Gruß, Florian

PS: Dürfte ich mal fragen, was du beruflich machst/studiert hast (oder studierst)? Deine Beiträge sind mir jetzt schon mehrmals wg. der kompetenten Antworten in versch. Themenbereichen aufgefallen.

[derguteweka]

Moin,


Dürfte ich mal fragen, was du beruflich machst/studiert hast (oder studierst)? Deine Beiträge sind mir jetzt schon mehrmals wg. der kompetenten Antworten in versch. Themenbereichen aufgefallen.

Danke fuer die Blumen :)
Naja, hab' (natuerlich) Elektrotechnik/Nachrichtentechnik studiert und arbeit' jetzt als EntwicklungsIng.
Das Thema meiner Abi-Facharbeit war damals uebrigens: "Die physikalischen Vorgaenge am astabilen Multivibrator"
-> Also auch was mit Schwingungen, wenn auch rechteckiger :)
Gruss
WK